Определите углы треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в точке пересечения этого графика с осью
Решение.
Так как касательная образует с осями координат прямоугольный треугольник, найдём угловой коэффициент касательной:
Абсцисса точки пересечения оси Oy и графика функции равна 0. При x = 0 угловой коэффициент касательной Так как то — угол наклона касательной. Значит, углы искомого треугольника будут равны 90°, 60°, 30°.
Определите углы треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в точке пересечения этого графика с осью
Решение.
Так как касательная образует с осями координат прямоугольный треугольник, найдём угловой коэффициент касательной:
Абсцисса точки пересечения оси Oy и графика функции равна 0. При x = 0 угловой коэффициент касательной Так как то — угол наклона касательной. Значит, углы искомого треугольника будут равны 90°, 45°, 45°.
Прямая является касательной к графику функции в некоторой точке (или нескольких точках). Найдите абсциссу точки касания (абсциссы, если точек несколько).
Решение.
Производная функции равна: Так как угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания имеем:
Прямая является касательной к графику функции в некоторой точке (или нескольких точках). Найдите абсциссу точки касания (абсциссы, если точек несколько).
Решение.
Производная функции равна: Так как угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания имеем:
Найдите уравнение касательной к графику функции параллельной прямой Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.
Решение.
Касательная к заданной функции параллельная графику функции а значит, их угловые коэффициенты равны. Приравняем правые части данной функции и уравнения касательной с параметром b. Получаем
Касательная пересекает график функции лишь единожды, тогда дискриминант полученного уравнения должен быть равен 0, а b, соответственно, −1. Прямая, задаваемая функцией пересекает оси координат в точках и следовательно, площадь искомого треугольника равна
Найдите уравнение касательной к графику функции параллельной прямой Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.
Решение.
Касательная к заданной функции параллельная графику функции а значит, их угловые коэффициенты равны. Приравняем правые части данной функции и уравнения касательной с параметром b. Получаем
Касательная пересекает график функции лишь единожды, тогда дискриминант полученного уравнения должен быть равен 0, а b, соответственно, −1. Прямая, задаваемая функцией пересекает оси координат в точках и следовательно, площадь искомого треугольника равна
Найдите точку графика функции касательная в которой проходит через начало координат.
Решение.
Касательная, проходящая через начало координат имеет функцию вида Приравняем правые части функций:
Дискриминант полученного уравнения равен Решим квадратное уравнение относительно углового коэффициента, чтобы найти возможные уравнения касательных:
Найдём абсциссы точек пересечения касательных и данного графика, а затем упростим их, домножив на сопряжённое знаменателю выражение:
Подставим найденные значения в уравнения касательных, чтобы найти значения ординат:
Найдите точку графика функции касательная в которой пересекает ось ординат в точке (0; 6).
Решение.
Касательная, проходящая через начало координат имеет функцию вида Приравняем правые части функций:
Половина дискриминанта полученного уравнения равна Тогда дискриминант равен 0 при Подставим полученный угловой коэффициент в уравнение касательной, чтобый найти абсциссу точки касания:
Подставим найденное значение в уравнение касательной, чтобы найти значение ординаты
К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная. С помощью рисунка найдите
Решение.
Так как значение производной функции в точке касания численно равна угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла наклона, то имеем:
К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная. С помощью рисунка найдите
Решение.
Так как значение производной функции в точке касания численно равна угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла наклона, то имеем:
Найдите, под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная, проведенная к графику функции в точке его пересечения с осью ординат.
Решение.
Найдем f'(x) = 6x2 − 1. График функции пересекает ось ординат в точке с абсциссой, где x0 = 0. При x = 0 получаем, что f'(0) = −1. Тогда
Найдите, под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная, проведенная к графику функции в точке его пересечения с осью ординат.
Решение.
Найдем f'(x) = 6x2 + 1. График функции пересекает ось ординат в точке с абсциссой, где x0 = 0. При x = 0 получаем, что f'(0) = −1. Тогда: